Le journal de Doctus Monkey

Benoît Mandelbrot, mathématicien et père de la théorie des fractales, est mort il y a plus de neuf ans,  le jeudi 14 octobre 2010 à l’âge de 85 ans. L'ensemble de Mandelbrot En  guise d'hommage respectueux, lundi au tableau j'ai expliqué à mes élèves la structure topologique de l'ensemble triadique de Cantor. Compact, d'intérieur vide et pourtant non dénombrable. Les cinq premières étapes de la construction de l'ensemble triadique de Cantor Il aurait fallu leur parler de la fonction de Lebesgue construite sur l'ensemble triadique de Cantor qui fournit un contre-exemple attestant qu'une fonction presque partout dérivable n'est nullement nécessairement l'intégrale de sa dérivée, même si cette dernière est intégrable. Comme Alexandre Grothendieck,  Benoît Mandelbrot fut un prince de la dénomination; ainsi cette fonction de Lebesgue, l'appelait-il 'l'escalier du diable'; il suffit de regarder son graphe une seule...

Un souvenir vieux de dix ans qui me revient bizarrement. C'est l'après-midi d'un ancien jour perdu - peut-être un mercredi. Ma fille de six ans a caché des dessins dans sa chambre, mon fils et moi devons les retrouver. Le jeu est bien entamé et comme on a déjà mis la main sur pas mal de dessins je lui demande s'il en reste, si par hasard on ne les aurait pas tous déjà trouvés, elle a cette réponse: 'D'après mes calculs, il en reste encore à peu près trois!'. Quand on fait de longs calculs d'approximation en mathématique, c'est le plus souvent pour parvenir à approcher un nombre réel par un nombre plus simple - en général un nombre rationnel: on parle alors d'approximation diophantienne. Ce qui donne lieu à de puissants et magnifiques théorèmes qui, et cela ne trompe pas, sont dus aux plus grands mathématiciens: Liouville, Dirichlet, Thue, Siegel... Théorème de Liouville Quand on commence une phrase par l'expression 'd...

Je m'aperçois aujourd'hui que je sais faire tous les problèmes qui furent, cette année, posés aux concours d'entrée aux grandes écoles. Je sais faire tous ces problèmes, et très bien, et dans les moindres détails. Je sais même répondre à la question 7 de la partie IV, celle qui ne fut traitée par aucun candidat, celle qui n'était même pas faite pour être abordée. Je vois où on veut en venir, les questions je les anticipe. A tel point que les problèmes me semblent cousus de fil blanc. Je les fais de A à Z sans aucune impasse, et je suis même capable d'apporter des précisions aux énoncés. Oui, je pourrai facilement les enrichir et ça me vaudrait à coup sûr un 20 sur 20. Et même plus que 20 sur 20. Vous vous rendez compte! Plus de 20 sur 20! Par exemple 23 ou 24 sur 20!  Oui, 23 ou 24 sur 20 aux deux épreuves de mathématiques du concours de l'X, avouez que ça aurait de la gueule! Avec des notes pareilles à l'écrit, j'irais passer les oraux, avec de l...

« L'informatique n'est pas plus la science des ordinateurs que l'astronomie n'est celle des télescopes. » Chaque fois que je me le répète, je suis stupéfait par la puissance de cet aphorisme attribué au grand informaticien et mathématicien Edsger Dijkstra (né à Rotterdam le 11 mai 1930 et mort à Nuenen le 6 août 2002): Edsger Dijkstra ( 1930-2002) En général, je commence mon cours d'informatique en insistant particulièrement sur cette phrase. D'abord pour marquer à quel point je compte inscrire mes considérations aussi loin que possible de tout bidouillage bureautico-logicielo-mercantile de type 'heures facturées SSII'. Et surtout pour bien les convaincre  - dans la logique de la phrase de Djikstra - que l'informatique théorique a existé bien avant la fabrication du premier ordinateur. L’informatique fondamentale est une branche particulière des mathématiques discrètes visant particulièrement à l’étude des processus itératif...

Plus le temps passe, plus je me sens plein d'indulgence pour toutes les formes de superstition. Comment donc un homme en vient-il à se construire un tel petit système de protection personnelle qu'on nomme d'ordinaire 'superstition'? Pour tenter de répondre ( un peu ) à la question, je pense à toi mon frère qui est moi. Je t'imagine, seul sous la voûte du monde. Tu es là et il faut bien t'y faire. T'organiser d'une manière ou d'une autre. Quand l'homme voit trop bien la menace dans toute son étendue, et toutes ses conséquences, que lui reste-t-il donc? Et Dieu sait s'il y en a, au dessus de notre tête, de telles menaces. Rédhibitoires. Et que rien ne vient contrebalancer. Dans une telle situation, on peut quand même pas rester les bras croisés, sans espoir. La sagesse populaire le clame: on ne sait jamais de quoi demain sera fait. Lourd de sombres sous-entendus, l'Evangile affirme 'Travaillez tant que vous...

J'interrogeais un élève au tableau, à propos d'un exercice consistant à prouver que le cardinal d'un groupe fini dont tous les éléments sont d'ordre deux est une puissance de deux. Nous venions de terminer la preuve de ce résultat en utilisant des techniques élémentaires qui rendaient la démonstration à la fois trop artificielle et trop astucieuse. Comme j'en étais gêné, j'en suis venu à expliquer à l'élève en question la vraie raison par laquelle ce théorème devenait éminemment naturel.  Il s'agissait simplement de remarquer que chaque élément étant d'ordre 2 dans ce groupe G, G était abélien et qu'il se trouvait donc naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel sur le corps à deux éléments ( corps que l'on va noter k pour plus de commodité). Dès lors G en tant qu'espace vectoriel est évidemment de dimension finie sur k ( étant de cardinal fini 'il possède évidemment une partie génératrice finie), il est donc ...

Souvenir de Sicile. L'après-midi avant le retour. Sur la plage. Devant la mer Méditerranée. Les Grecs sont venus de là-bas. Géométrie parfaite du temple d'Agrigente Ce bleu étal. Etal comme une extension galoisienne. A perte de vue. Les mathématiques arabes sont venues de là-bas. Savants musulmans à la cour palermitaine Du grand empereur  Frédéric II Hohenstaufen, le fauconnier Odeur de volcan étendue sur la mer A l'horizon des pauvres villages siciliens Tout entier en partance pour l'Amérique L'autre sens: New-York, Ellis Island Ce bleu étal. Etal comme une extension galoisienne. A perte de vue. La vie qui va et qui vient La vie qui trouve toujours sa direction Je pense au bonheur. Qu'on ne mesure pas. On ne goûte la pleine saveur des choses. Qu'au bord des gouffres. En rémission. Quand tout va bien, je suis snob. Et je les snobe ces moments. Je snobe les pépites d'or qu'ils recèlent. Je snobe, car je...

Dans la série des phrases qui portent sens, celle-ci, saisie au vol au cours d'un repas, comme un caméléon gobe une mouche: ' Pendant la guerre, on récupérait le plexiglas des cockpits sur les avions tombés '. Une sentence porteuse d'une parcelle irréductible de vérité: il en fut ainsi, et point barre! ' Puisque cela a été, personne ne pourra le nier. Telle est la force du fait avéré, telle est la force – indépassable, même au mathématicien - de l'historien, lui qui dit ce qui s'est passé: il n'a pas besoin de prouver, tout à fait de même qu'un homme n'a pas besoin de démontrer qu'il a été vivant entre l'instant de sa naissance et celui de sa mort - l'évidence de ce qui fut est peut-être l'ultime privilège de notre condition de mortel. Penser à Musil, à ce que Ulrich, son héros, appelle le sens du possible. ' ... et quand on lui dit d'une chose qu'elle est comme elle est, il pense qu'elle ...

Plaçons-nous au premier jour du livre d'Elmo. Voilà la situation initiale: je veux écrire un livre, comment m'y prendre? Moi Doctus Monkey, je veux aborder le problème à ma façon. Qui consiste à faire jouer les forces de l'abstraction mathématique. Je commence donc par réfléchir aux livres et aux écrivains, à la manière dont je réfléchis en géométrie aux triangles, ou, en algèbre, aux groupes de Lie. C'est à dire que je veux m'abstraire, prendre de la hauteur, voler au dessus de chaque livre, de chaque écrivain. Pour voir ce qu'ils sont réellement. En somme mettre au jour la 'structure' de livre et celle d'écrivain, comme un mathématicien met à jour la structure de groupes ou celle d'anneau commutatif. Ce qui représente réellement une tentative de lévitation. Prenons l'exemple du triangle: à partir de l'observation de quelques spécimens, j'essaie de me hausser au dessus de chacun d'eux, l'effacement des particularités...

Cartouche du pharaon Toutânkhamon (Les titres et les noms du roi) Si on décide par exemple de dénombrer les matrices carrées de taille n comportant exactement deux '1' dans chaque ligne et dans chaque colonne ( avec partout ailleurs des zéros), c'est pour moi un problème neuf. Je n'y ai jamais réfléchi et peut-être même que personne avant moi n'y a réfléchi. Pourtant, on sent qu'il y a des relations à découvrir, on sent qu'il existe des liens originels. Je n'ai pas d'inquiétude: il existe forcément des choses à voir, à remarquer, à prouver. Les relations, les propriétés, les théorèmes concernant ce problème sont là depuis toute éternité comme la momie d'un pharaon dans une tombe restée inviolée: ils nous attendent, ils ne demandent qu'à être cueillis, ils ont été installés pour ainsi dire à l'aplomb de ce sujet avant même la venue sur terre du premier homme. Tout est là depuis toujours, des choses nous attendent dans ...